La topología del orden

Axiomas de una relación de orden

Sea $R\subset X\times X$ una relación binaria definida sobre un conjunto $X$. Decimos que $R$ determina una relación de orden simple $<$, definida de manera que $x<y⟺(x,y)\in R$ , si cumple los siguientes axiomas:

1. No reflexividad: $\mathrm{\forall }x\in X,x\nless x$.
2. Comparabilidad: $\mathrm{\forall }x,y\in X,x\ne y⟹(x<y\vee y<x)$
3. Transitividad: $\mathrm{\forall }x,y,z\in X,x<y\wedge y<z⟹x<z$

La topología del orden (Ejemplo 10)

Sea $X$ un conjunto y $<$ una relación de orden simple sobre $X$. Sea $\mathcal{B}$ la colección formada por todos

1. Los intervalos abiertos $(a,b)$.
2. Los intervalos semiabiertos $[m,b)$, si $X$ tiene un mínimo $m$.
3. Los intervalos semiabiertos $(a,M]$, si $X$ tiene un máximo $M$.

Entonces, $\mathcal{B}$ es una base para una topología sobre $X$ denominada la topología del orden. Asimismo, la colección $\mathcal{S}=\{(-\infty ,a):a\in X\}\cup \{(a,+\infty ):a\in X\}$ es una subbase para dicha topología.

• Si $(X,<)$ tiene un mínimo $m$, entonces $(-\infty ,a)=[m,a)$; mientras que si tiene un máximo $M$, entonces $(a,+\infty )=(a,M]$.

• Al mismo tiempo, si $X$ no tiene elemento mínimo, no existen conjuntos de tipo 2. mientras que si $X$ no tiene elemento máximo, no hay conjuntos de tipo 3.

• Por otro lado, $(-\infty ,b)\cap (a,+\infty )=(a,b)$.